题目内容

已知偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式
f(x)+f(-x)x
＞0的解集为
（-∞，-2）∪（0，2）
（-∞，-2）∪（0，2）
．
分析：偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，所以函数f（x）在（-∞，0）上为增函数，且f（-2）=0，故抽象不等式可转化为具体不等式，故可求．
解答：解：由题意，不等式
f(x)+f(-x)
x
＞0等价于
f(x)
x
＞0
∴
f(x)
x
＞0等价于
x＞0
f(x)＞0
或
x＜0
f(x)＜0

∵偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，
∴函数f（x）在（-∞，0）上为增函数，且f（-2）=0，
∴
x＞0
x＜2
或
x＜0
x＜-2

∴不等式
f(x)+f(-x)
x
＞0的解集为（-∞，-2）∪（0，2）
故答案为：（-∞，-2）∪（0，2）．
点评：本题考查解不等式，考查单调性与奇偶性的结合，确定函数的单调性是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知偶函数f（x）在区间[0，π]上单调递增，那么下列关系成立的是（　　）
A、f(-π)＞f(-2)＞f(
π
2
)
B、f(-π)＞f(-
π
2
)＞f(-2)
C、f(-2)＞f(-
π
2
)＞f(-π)
D、f(-
π
2
)＞f(-2)＞f(π)
3、已知偶函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（-3），f（-1），f（2）的大小关系是（　　）
已知偶函数f（x）在R上的任一取值都有导数，且f′（1）=1，f（x+2）=f（x-2），则曲线y=f（x）在x=-5处的切线的斜率为（　　）
已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上满足f′（x）＞0则不等式f（2x-1）＜f（
1
3
）的解集是（　　）
已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则满足f（2x-1）＜f（x+3）的x的取值范围是
x＞2或x＜-
4
3
x＞2或x＜-
4
3
．

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