Question

已知圆x²+y²-4ax+2ay+20（a-1）=0．
（1）求证对任意实数a，该圆恒过一定点；
（2）若该圆与圆x²+y²=4相切，求a的值．

Answer 1

分析：（1）将a分离，可得（x²+y²-20）+a（-4x+2y+20）=0，对任意实数a成立，则

x2+y2=20 -4x+2y+20=0

，由此可得结论；
（2）利用两圆外切，内切，分别求出a的值，即可得到结论．

解答：（1）证明：将圆的方程整理为（x²+y²-20）+a（-4x+2y+20）=0，
令

x2+y2=20 -4x+2y+20=0

可得

x=4 y=-2

所以该圆恒过定点（4，-2）．
（2）解：圆的方程可化为（x-2a）²+（y+a）²=5a²-20a+20=5（a-2）²，所以圆心为（2a，-a），半径为

5

|a-2|．
若两圆外切，则

5

|a|=2+

5

|a-2|，由此解得a=1+

5

5

．
若两圆内切，则

5

|a|=|2-

5

|a-2||，由此解得a=1-

5

5

或a=1+

5

5

（舍去）．
综上所述，两圆相切时，a=1-

5

5

或a=1+

5

5

．

点评：本题考查圆过定点，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．