题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，
为
的中点，
底面，
.
（1）求证：
平面
；
（2）求钝二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）由线面垂直的性质定理与矩形的性质可证
，再由线面垂直的判定定理可证
平面
，即
，又由等腰三角形三线合一可知
，最后由线面垂直的判定定理可证；
（2）由已知
三条直线两两垂直，于是可以分别以射线
、
、
为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，进而表示点B,P,C,D的坐标，即可表示向量
，再分别表示平面
与平面
的法向量，最后由数量积计算夹角的余弦值.
（1）证明：∵
平面
，∴
.
∵四边形是矩形，所以，
由 
平面，∴.
，
为
的中点，∴
由 
平面
.
（2）由已知三条直线两两垂直，于是可以分别以射线、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
则
,
所以
设平面的法向量为
，则
，令
，则
.
设平面的法向量为
，则
，令
，则
.
.
设二面角
的平面角为
，由已知为钝角，
∴
.
【题目】某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（
元）试销l天，得到如表单价（元）与销量
（册）数据：
单价 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
销量 | 61 | 56 | 50 | 48 | 45 |
（l）根据表中数据，请建立关于的回归直线方程：
（2）预计今后的销售中，销量（册）与单价（元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？
附：
，
，
，
.
【题目】目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.
（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；
（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下表格.
（i）请将表格补充完整；
短潜伏者 | 长潜伏者 | 合计 | |
60岁及以上 | 90 | ||
60岁以下 | 140 | ||
合计 | 300 |
（ii）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中60岁以下的140名患者中按分层抽样方法抽取7人做I期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率.
