Question

已知a＞0，函数f(x)=ax-bx².

(1)当b＞0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1,证明a≤2；

(2)当b＞1时，证明对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2.

Answer 1

证明：（1）依题意设对任意x∈R都有f(x)≤1,

∵f(x)=-b(x-)²+,

∴f()= ≤1.

又∵a＞0,b＞0,∴a≤2.

（2）必要性：对任意x∈［0,1］,
|f(x)|≤1f(x)≥-1,

∴f(1)≥-1，即a-b≥-1.∴a≥b-1.

对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1f(x)≤1,

∵b＞1,可以推出f(）≤1,即a·-1≤1.

∴a≤2.

∴b-1≤a≤2.

充分性：∵b＞1,a≥b-1,对任意x∈［0,1］,可以推出ax-bx²≥b(x-x²)-x≥-x≥-1,即ax-bx²≥-1.

∵b＞1,a≤2,对任意x∈［0,1］,可以推出ax-bx²≤2x-bx²≤1,即ax-bx³≤1.

∴-1≤f(x)≤1.

综上，当b＞1时，对任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件是b-1≤a≤2.