Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB为正三角形，AB=2，，PC⊥BD，E为AB的中点。

（1）证明：PE⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-PD-B的大小。

Answer 1

解：如图 （1）设BD与CE交于点O ∴∠OBC+∠OCB =90° 从而 即BD⊥CE， 又PC⊥BD，且PC∩CE=C， ∴BD⊥平面PCE ∴BD⊥PE 又因为△PAB为正三角形，E为AB的中点， ∴PE⊥AB 又∵AB∩BD=B ∴PE⊥平面ABCD。 （2）PE⊥平面ABCD， ∴平面PAB⊥平面ABCD 又AD⊥AB， ∴平面PAB⊥平面PAD 设F为PA的中点，连接BF，则BF⊥PA， ∴BF⊥平面PAD 过点F作FG⊥PD，连接BG，则BG⊥PD ∠BGF为二面角A-PD-B的平面角 在△PFG及△BGF中， 在△PAB中， 在Rt△BFC中， ∴∠BGF=arctan3， 即二面角A-PD-B的大小为arctan3。