Question

设函数f（x）=x³-

9

2

x²+6x-a．           
（1）求函数f（x）的单调区间．
 （2）对于任意实数x，f′（x）≥m恒成立，求m的最大值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用导数大于0，求函数的单调增区间，导数小于0，求函数的单调减区间；
（2）对于任意实数x，f′（x）≥m恒成立，等价于m≤f′（x）_min，问题转化为求f（x）的最小值．

解答：解：（1）f′（x）=3（x-1）（x-2），
令f′（x）＞0，∴x∈（-∞，1）∪（2，+∞）
故函数f（x）的单调增区间为（-∞，1）和（2，+∞）；
令f′（x）＜0，得x∈（1，2），故函数f（x）的单调减区间为（1，2）．
（2）由题意可知m≤f′（x）_min，
又因为f′(x)=3(x-

3

2

)2-

3

4

≥-

3

4

，∴m≤-

3

4

故m的最大值为-

3

4

．

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求函数的单调区间，同时考查了函数最值的运用，有一定的综合性．