Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a=2sinA，

cosB

cosC

+

2a

c

+

b

c

=0．
（Ⅰ）求边c的大小；  
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知第二个等式去分母变形后，利用正弦定理化简，求出cosC的值，确定出C的度数，再利用正弦定理即可求出边c的大小；
（Ⅱ）由c，cosC的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ab的最大值，利用面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵

cosB

cosC

+

2a

c

+

b

c

=0，
∴ccosB+2acosC+bcosC=0，
由正弦定理化简得：sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0，
即sin（B+C）+2sinAcosC=0，
整理得：sinA+2sinAcosC=0，
∵sinA≠0，
∴cosC=-

1

2

，
∴C=

2π

3

，
∴c=

asinC

sinA

=

3

；
（Ⅱ）∵c=

3

，cosC=-

1

2

，
∴cosC=-

1

2

=

a2+b2-3

2ab

，
∴a²+b²+ab=3，
∵a²+b²≥2ab，
∴3ab≤3，
∴S_△ABC=

1

2

absinC≤

3

4

，
则△ABC面积的最大值为

3

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．