Question

抛物线y=-x²+4上存在两点关于直线y=kx+3对称，则k的取值范围是________．

Answer 1

k＜-或k＞
分析：设两对称点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由条件可设AB方程为：y=-x+m，与抛物线方程y=-x²+4消去y得关于x的一元二次方程，则△＞0①，由韦达定理可表示AB中点横坐标，代入y=kx+3得其纵坐标，再代入AB方程得m与k的方程=-+m②，联立①②即可求得k的取值范围．
解答：设两对称点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则直线AB与直线y=kx+3对称，
易知k≠0，设AB方程为：y=-x+m，
由得，则△=0①，
x₁+x₂=，则AB中点横坐标为，代入y=kx+3得y=k•+3=，所以AB中点坐标为（，），
又中点在直线AB上，所以=-•+m，即=-+m②，
由②得m=（+），代入①解得k＜-或k＜-，
所以k的取值范围为：k＜-或kk＞\frac{\sqrt{2}}{2}或k＞\frac{\sqrt{2}}{2}
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查轴对称问题，本题采用“方程、不等式”法，解决本题的关键是用数学式子充分刻画条件：两点关于直线对称．