Question

已知

a

=(1，2)，

b

=(-3，2)，

x

=k

a

+

b

，

y

=

a

-3

b

．
（1）当k为何值时，

x

⊥

y

；
（2）若

x

与

y

的夹角为钝角，求实数k的取值范围．

Answer 1

由题意，

x

=k

a

+

b

=(k-3，2k+2)，

y

=

a

-3

b

=(10，-4)（1分）
（1）∵

x

⊥

y

，
∴

x

•

y

=0，即10（k-3）-4（2k+2）=0，解得2k=38，
∴k=19（6分）
（2）由于

x

•

y

=2k-38，又两向量的夹角为钝角，所以cosθ=

x • y

| x || y |

＜0，
∴2k-18＜0，即k＜19（10分）
但此时

π

2

＜θ＜π，
∴

x

与

y

不共线，
若

x

若

y

共线，则有-4（k-3）-10（2k+2）=0，∴k=-

1

3

．
故所求实数k的取值范围是k＜19且k≠-

1

3

（12分）