题目内容
用数学归纳法证明：
tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n－1)α·tan nα＝
－n(n∈N*，n≥2)．
证明 (1)当n＝2时，右边＝
－2＝
－2＝
＝tan α·tan 2α＝左边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥2)时，等式成立，即
tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＝
－k，
那么当n＝k＋1时，
tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α
＝－k＋tan kα·tan(k＋1)α
＝＋1＋tan kα·tan(k＋1)α－(k＋1)
＝＋
－(k＋1)
＝
－(k＋1)．
这就是说，当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)知，对任何n∈N*且n≥2，原等式成立．
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