Question

已知函数f（x）=10^x，对于实数m、n、p有f（m+n）=f（m）+f（n），f（m+n+p）=f（m）+f（n）+f（p），则p的最大值等于

 

．

Answer 1

分析：由f（x）=10^x得：f（m+n）=f（m）f（n），依题意，可求得f（m）f（n）=f（m）+f（n），令f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，则f（m）、f（n）是x²-tx+t=0的解，利用△=t²-4t≥0，可求得t的范围，进一步可求得f（p）=

t

t-1

=1+

1

t-1

（t≥4），利用该函数的单调性即可求得f（p）的最大值，继而可得p的最大值．

解答：解：由f（x）=10^x得：f（m+n）=f（m）f（n），
∵f（m+n）=f（m）+f（n），
∴f（m）f（n）=f（m）+f（n），
设f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，
则f（m）、f（n）是x²-tx+t=0的解，
∵△=t²-4t≥0，
∴t≥4或t≤0（舍去）．
又f（m+n+p）=f（m）f（n）f（p）=f（m）+f（n）+f（p），
∴tf（p）=t+f（p），
∴f（p）=

t

t-1

=1+

1

t-1

（t≥4），
显然t越大，f（p）越小，
∴当t=4时，f（p）取最大值

4

3

，又f（p）=10^p，
∴f（p）取到最大值时，p也取到最大值，即p_max=lg

4

3

=2lg2-lg3．

点评：本题考查抽象函数的性质，着重考查对数函数的性质，求得f（m）f（n）=f（m）+f（n）之后，设f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，构造方程，f（m）、f（n）是x²-tx+t=0的解是关键，也是难点，考查创新思维与综合分析与运算能力，属于难题．