Question

已知f（x）是二次函数，且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，
（1）求f（x）的表达式；
（2）若f（x）＞a在x∈[-1，1]恒成立，求实数a的取值范围；

Answer 1

分析：（1）根据函数类型设出函数的解析式，然后根据f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，建立两个等式关系，解之即可；
（2）要使f（x）＞a在x∈[-1，1]恒成立，只需研究函数f（x）在闭区间[-1，1]上的最小值即可，利用配方法结合二次函数的性质即可求出f（x）的最小值．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c∵f（0）=0∴c=0
∴f（x）=ax²+bxf（x）+x+1=ax²+（b+1）x+1f（x+1）
=a（x+1）²+b（x+1）=ax²+（2a+b）x+a+b∵f（x+1）
=f（x）+x+1∴ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+1）x+1
∴

2a+b=b+1 a+b=1

?

a= 1 2 b= 1 2

∴f(x)=

1

2

x2+

1

2

x
（2）f（x）＞a在x∈[-1，1]恒成立
∴

1

2

x2+

1

2

x＞a在x∈[-1，1]恒成立
∴a＜

1

2

(x+

1

2

)2+(-

1

8

)在x∈[-1，1]恒成立．
[

1

2

(x+

1

2

)2-

1

8

]min=-

1

8

(-1≤x≤1)
∴a＜-

1

8

点评：本题主要考查了函数解析式的求解及待定系数法，以及函数恒成立问题，属于基础题．