Question

已知函数f（x）=

1-x

ax

+lnx（a≠0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（3）求证：lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

（n∈N﹡，且n≥2）．

Answer 1

解（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=-

1

ax2

+

1

x

=

1

x2

(x-

1

a

)
当a＜0，则f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增
当0＜a时，解f'（x）＞0，得x＞

1

a

，
解f'（x）＞0，得0＜x＜

1

a

，
所以当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
当0＜a时，f（x）的单调递增区间为（0，

1

a

），单调递减区间为（

1

a

，+∞）
（2）当a=1时，f′（x）=

x-1

x2

，由（1）知f（x）在[

1

2

，1）上单调递增
，在（1，2）上单调递减，所以f（x）min=f（1）=0
又f（

1

2

）=1-ln2，f（2）=-

1

2

+ln2，f（

1

2

）＞f（2），所以f（x）max=f（

1

2

）=1-ln2，
综上所述，f（x）在[

1

2

，2]上的最大值是1-ln2，最小值是0．
（3）当a=1时，由（1）知f（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以x＞1时f（x）＞f（1）=0，即lnx＞1-

1

x

所以n≥2时，ln

n

n-1

＞1-

n-1

n

=

1

n

，
∴ln

2

1

＞

1

2

，ln

3

2

＞

1

3

，ln

4

3

＞

1

4

…，ln

n

n-1

＞

1

n

以上各式相加可得ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

即ln(

2

1

×

3

2

×

4

3

×…

n

n-1

)＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

即lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

（n∈N﹡，且n≥2）．
所以原不等式成立．