Question

如图，长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝AA₁＝a，，M是AD中点，N是B₁C₁中点．

(1)求证：A₁、M、C、N四点共面；

(2)求证：BD₁⊥MCBA₁；

(3)求证：平面A₁MCN⊥平面A₁BD₁；

(4)求A₁B与平面A₁MCN所成的角．

Answer 1

答案：
解析：

(1)取中点E，连结ME、， 　　∴，MCEC． 　　∴MC． 　　∴，M，C，N四点共面． 　　(2)连结BD，则BD是在平面ABCD内的射影． 　　∵， 　　∴RtΔCDM～RtΔBCD，∠DCM＝∠CBD． 　　∴∠CBD＋∠BCM＝90°． 　　∴MC⊥BD．∴． 　　(3)连结，由是正方形，知⊥． 　　∵⊥MC，∴⊥平面． 　　∴平面⊥平面． 　　(4)∠是与平面所成的角且等于45°．