Question

求证：对任何非负整数ｎ，3³ⁿ-26n-1可被676整除.

Answer 1

思路分析:当ｎ=0或1时，所给式子为具体数，可以验证.当ｎ≥2时，由于注意到676等于26²，而3³ⁿ=27ⁿ=(26-1)ⁿ.可以用二项式展开，看各项中是否均能含有26².

解:当ｎ=0时，原式等于0，可被676整除.

当ｎ=1时，原式=0，也可被676整除.

当ｎ≥2时，原式=27ⁿ-26n-1=(26+1)ⁿ-26n-1

=(26ⁿ+26^n-1+…+26²+26+1)-26n-1=26ⁿ+26^n-1+…+26².

每一项都含有26²这个因数，故可被26²=676整除.

综上所述，对一切非负整数ｎ，3³ⁿ-26n-1可被676整除.

    方法归纳 此类问题可以用二项式定理证明，证明此类问题的关键在于将被除式进行恰当的变形.使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都含有除式这个因式，就可证得整除.