Question

设函数y=f（x），x∈R的导函数f'（x），且f（-x）=f（x），f′（x）＜f（x），则下列不等式成立的是

1. A.
   f（0）＜e^-1f（1）＜e²f（2）
2. B.
   e²f（2）＜f（0）＜e^-1f（1）
3. C.
   e²f（2）＜e^-1f（1）＜f（0）
4. D.
   e^-1f（1）＜f（0）＜e²f（2）

Answer 1

D
分析：通过分析给出的选项的特点，每一个选项中要比较的三个式子都涉及含有e的负指数幂及f（x），所以设想构造函数
g（x）=e^-x•f（x），通过求其导函数，结合题目给出的f′（x）＜f（x），得到函数g（x）的单调性，然后在函数g（x）的解析式中分别取x=0，1，-2，利用函数单调性即可得到结论．
解答：构造辅助函数，令g（x）=e^-x•f（x），
则g^′（x）=（e^-x）^′•f（x）+e^-x•f^′（x）
=-e^-x•f（x）+e^-x•f^′（x）
=e^-x（f^′（x）-f（x））．
∵f′（x）＜f（x），
∴g^′（x）=e^-x（f^′（x）-f（x））＜0，
∴函数令g（x）=e^-x•f（x）为实数集上的减函数．
则g（-2）＞g（0）＞g（1）．
∵g（0）=e⁰f（0）=f（0），
g（1）=e^-1f（1），
g（-2）=e²f（-2），
又f（-x）=f（x），
∴g（-2）=e²f（2）
∴e^-1f（1）＜f（0）＜e²f（2）．
故选D．
点评：本题考查了利用导函数判断原函数的单调性，考查了不等关系与不等式，训练了函数构造法，解答此题的关键是结合选项的特点，正确构造出辅助函数，使抽象问题变得迎刃而解，此题是中档题．