Question

设x，y，z，a，b，c∈R，若x²+y²+z²=1，a²+b²+c²=1，那么ax+by+cz的最大值为

1

．

Answer 1

分析：根据题意，将x²+y²+z²=1和a²+b²+c²=1相加可得x²+a²+y²+b²+z²+c²=1+1=2，由基本不等式的性质，可得ax≤

a2+x2

2

，by≤

b2+y2

2

，cz≤

c2+z2

2

，将三个式子相加可得ax+by+cz≤

a2+x2

2

+

b2+y2

2

+

c2+z2

2

，对右式变形可得答案．

解答：解：根据题意，由x²+y²+z²=1，a²+b²+c²=1，可得x²+a²+y²+b²+z²+c²=1+1=2，
又由ax≤

a2+x2

2

（当且仅当a=x时成立），
by≤

b2+y2

2

（当且仅当b=y时成立），
cz≤

c2+z2

2

（当且仅当c=z时成立）
将三式相加可得：ax+by+cz≤

a2+x2

2

+

b2+y2

2

+

c2+z2

2

=

1

2

（x²+a²+y²+b²+z²+c²）=1，
则ax+by+cz的最大值为1，
故答案为1．

点评：本题考查基本不等式的性质以及不等式的性质，要灵活运用基本不等式的变形形式，如ab≤（

a+b

2

）²≤

a2+b2

2

等．