Question

【题目】已知函数， 是的导函数.

（1）若在处的切线方程为，求的值；

（2）若且在时取得最小值，求的取值范围；

（3）在（1）的条件下，当时， .

Answer 1

【答案】（1）a=-1；（2）[0,1]；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据 ，即可得结果；（2）分三种情况分别求函数的最小值，分别验证是否在时取得最小值，即可得结果；（3）利用导数研究函数的单调性，分两种情况分别利用分析法证明即可.

试题解析：(1)f(x)=x-asinx,f()=-a= 所以a=-1,经验证a=-1合题意;

(2)g(x)= f(x)= x-asinx g(x)=1-acosx

①当a=0时, f(x)= x2,显然在x=0时取得最小值, ∴a=0合题意;

②当a>0时,

(i)当≥1即0<a≤1时, g(x)≥0恒成立, ∴g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,又g(0)=0

∴当x<0时,g(x)<0 即f(x)<0, 当x>0时,g(x)>0 即f(x)>0

∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;

∴f(x) 在x=0时取得最小值

∴当0<a≤1时合题意;

(ii)当0<<1即a>1时,在(0,)内存在唯一x0=arccos使g(x)=0

当x(0,x0)时, ∵y=cosx在(0,)上是单调递减的, ∴cosx>cosx0=

∴g(x)= a (-cosx)<0 ∴g(x) 在(0, x0)上单调递减 ∴g(x)<g(0)=0

即f(x)<0 ∴f(x)在(0, x0)内单调递减;

∴x(0,x0)时,f(x)<0 这与f(x)在x=0时取得最小值即f(x)≥f(0)矛盾

∴当a>1时不合题意;

综上, a的取值范围是[0,1].

(3)由(1)知,a=-1 此时g(x)= x+sinx, g(x)=1+cosx

∴==|cos|≥cos

∴若要证原不等式成立,只需证cos+x2>成立;

由(2)知,当a=1时,f(x)≥f(0)恒成立,即x2+cosx≥1恒成立

即cosx≥1-x2(当且仅当x=0时取"="号)

∴cos≥1-x2(当且仅当x=0时取"="号) ……………①

∴只需证: 1-x2+x2>成立,即1+x2>

又由均值不等式知:1+x2≥x(当且仅当x=2时取"="号) ……………②

∵①②两个不等式取"="的条件不一致

∴只需证: x≥

两边取对数得:lnx≥1-……………③

下面证③式成立:令(x)=lnx-1+

则(x)= -= ∴(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增

∴(x)≥(1)=0

即lnx-1+≥0 ∴lnx≥1-

即③式成立

∴原不等式成立