Question

已知三个函数：①y=2cosx；②y=1-x³；③y=2^x+1．其中满足性质：“对于任意x₁，x₂∈R，若x1＜x0＜x2， α=

x1+x0

2

， β=

x0+x2

2

，则有|f（α）-f（β）|＜|f（x₁）-f（x₂）|成立”的函数是

 

．（写出全部正确结论的序号）

Answer 1

分析：根据题意判断出x₁＜α＜β＜x₂，再根据三个函数的单调性判断出对应函数值的大小，进一步变形判断等式是否成立．

解答：解：∵x1＜x0＜x2， α=

x1+x0

2

， β=

x0+x2

2

，
∴x₁＜α＜β＜x₂，
∵函数y=1-x³在定义域上是减函数，∴有f（x₁）＞f（α）＞f（β）＞f（x₂），
∴f（x₁）-f（x₂）＞f（α）-f（β），即|f（α）-f（β）|＜|f（x₁）-f（x₂）|成立；
∵函数y=2^x+1在定义域上是增函数，∴f（x₁）＜f（α）＜f（β）＜f（x₂），
∴f（x₂）-f（x₁）＞f（β）-f（α），即|f（α）-f（β）|＜|f（x₁）-f（x₂）|成立；
由∵函数y=2cosx在定义域上不是单调函数，∴|f（α）-f（β）|＜|f（x₁）-f（x₂）|不成立．
故答案为：②③．

点评：本题考查了余弦函数、指数函数和幂函数的单调性的应用，即根据单调性判断对应函数值的大小，这是常用的一种方法．