Question

函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，f(x)=

x2+x+4

x

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论函数f（x）的单调性，并求f（x）的值域．

Answer 1

（1）∵f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上是偶函数，
∴f（-x）=f（x）（1分）
设x＜0，则-x＞0，f（-x）=

(-x)2+(-x)+4

-x

=

x2-x+4

-x

∴f(x)=-

x2-x+4

x

（3分）
∴f(x)=

x2+x+4 x        (x＞0) - x2-x+4 x     (x＜0)

（4分）
（2）当x＞0时，f(x)=

x2+x+4

x

=x+

4

x

+1，f′(x)=1-

4

x2

（6分）
令f'（x）=0?x=2
∴当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数，
x∈（2，+∞）时，f'（0）＞0，f（x）是增函数，（8分）
且函数f（x）在此区间上有极小值y_极小=f（2）=5
又f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称
∴x＜0时，f（x）的增区间为（-2，0），减区间为（-∞，-2）（10分）
综上所述，f（x）在区间（-∞，-2）和（0，2）上是减函数
在区间（-2，0）和（2，+∞）上是增函数，值域为f（x）∈[5，+∞）（12分）