Question

已知函数f(x)=(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2+

(a+b+c)2

3

（a，b，c为实数）．
（1）求f（x）的最小值m（用a，b，c表示）
（2）若a+b-3c=9，求（1）中m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于f（x）=3x²-（2a+2b+2c）x+a²+b²+c²+

(a+b+c)2

3

配方得：3（x-

a+b+c

3

）²+a²+b²+c²，再利用二次函数的性质即可求得f（x）的最小值；
（2）先由柯西不等式得：（a²+b²+c²）[1²+1²+（-3）²]≥（a+b-3c）²，结合题中条件：“a+b-3c=9”，即可求得m的最小值．

解答：解：（1）f（x）=3x²-（2a+2b+2c）x+a²+b²+c²+

(a+b+c)2

3

=3（x-

a+b+c

3

）²+a²+b²+c²
故当x=

a+b+c

3

时，f（x）的最小值m=a²+b²+c²
（2）由柯西不等式得：（a²+b²+c²）[1²+1²+（-3）²]≥（a+b-3c）²
即11m≥81
∴m的最小值为：

81

11

，当且仅当a=b=

9

11

，c=-

27

11

时，取等号．

点评：本题主要考查了柯西不等式在函数极值中的应用及函数的最值及其几何意义，解答关键是灵活运用柯西不等式