题目内容
已知函数f(x)=
sin(2x+
)+1
（1）求函数f（x）在[-π，π]上的单调区间；
（2）求函数f（x）在[0，
]上的最小值．
| 2 |
| π |
| 4 |
（1）求函数f（x）在[-π，π]上的单调区间；
（2）求函数f（x）在[0，
| π |
| 2 |
分析：（1）根据正弦函数单调区间的公式解关于x的不等式，可得函数f（x）在R上的单调递增区间与单调递减区间．再将得到的单调区间与区间[-π，π]取交集，即可得到函数f（x）在[-π，π]上的单调区间；
（2）由（1）的结论可得f（x）在[0，
]上为增函数，在[
，
]上为减函数，由此比较f（0）与f（
）的大小，可得当x=
时函数f（x）有最小值0．
（2）由（1）的结论可得f（x）在[0，
| π |
| 8 |
| π |
| 8 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
解答：解：（1）令-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ（k∈Z），解得-
+kπ≤x≤
+kπ（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间为[-
+kπ，
+kπ]（k∈Z），
同理可得f（x）的单调递减区间为[-
+kπ，
+kπ]（k∈Z），
对以上的单调区间分别取k=0、-1，将得到的区间与[-π，π]取交集，
可得函数f（x）在[-π，π]上的单调增区间为[-π，-
]和[-
，
]；
单调减区间为[-
π，-
π]和[
，
]．
（2）由（1）得，当x∈[0，
]时，
函数f（x）在[0，
]上为增函数，在[
，
]上为减函数，
∴函数f（x）在[0，
]上的最小值是f（0）与f（
）中的较小的值．
又∵f（0）=
sin
+1=2，f（
）=f(x)=
sin(2•
+
)+1=0，
∴当x=
时，函数f（x）有最小值0．
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
∴函数f（x）的单调递增区间为[-
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
同理可得f（x）的单调递减区间为[-
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
对以上的单调区间分别取k=0、-1，将得到的区间与[-π，π]取交集，
可得函数f（x）在[-π，π]上的单调增区间为[-π，-
| 7π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
单调减区间为[-
| 7 |
| 8 |
| 3 |
| 8 |
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
（2）由（1）得，当x∈[0，
| π |
| 2 |
函数f（x）在[0，
| π |
| 8 |
| π |
| 8 |
| π |
| 2 |
∴函数f（x）在[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
又∵f（0）=
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
∴当x=
| π |
| 2 |
点评：本题给出正弦型三角函数表达式，求函数在[-π，π]上的单调区间，并求函数f（x）在[0，
]上的最小值．着重考查了三角函数的图象与性质、正弦函数的单调性及其应用等知识，属于中档题．
| π |
| 2 |
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