Question

设椭圆（a＞b＞0）的焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），直线l：x=a²交x轴于点A，且．
（1）试求椭圆的方程；
（2）过F₁、F₂分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意，|F₁F₂|=2c=2，A（a²，0），利用，可得F₂为AF₁的中点，从而可得椭圆方程；
（2）分类讨论：当直线DE（或MN）与x轴垂直时，四边形DMEN的面积；当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：y=k（x+1），代入消去y，求出|DE|，|MN|，从而可得四边形的面积的表达式，利用换元法，即可求得结论．
解答：解：（1）由题意，|F₁F₂|=2c=2，A（a²，0）
∵
∴F₂为AF₁的中点
∴a²=3，b²=2
∴椭圆方程为…（5分） 
（2）当直线DE与x轴垂直时，|DE|==，此时|MN|=2a=2，四边形DMEN的面积．
同理当MN与x轴垂直时，四边形DMEN的面积．
当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：y=k（x+1），代入椭圆方程，消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=
所以，|x₁-x₂|=，所以|DE|=|x₁-x₂|=，
同理|MN|=                 …（9分）
所以四边形的面积=××=
令u=，则S=4-
因为u=≥2，当k=±1时，u=2，S=，且S是以u为自变量的增函数，所以．
综上可知，．
故四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为．…（13分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查韦达定理的运用，正确求弦长是关键．