题目内容
已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点为B（0，4），离心率e=
．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），在椭圆上求一点Q使△OPQ的面积最大．
| 3 | 5 |
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），在椭圆上求一点Q使△OPQ的面积最大．
分析：（Ⅰ）由题意可知：椭圆C的焦点在x轴上，b=4，据此可设出椭圆的此方程，再根据参数a、b、c的关系及其离心率即可得出；
（Ⅱ）求出与直线OP平行且与椭圆相切的直线方程及其切点即可．
（Ⅱ）求出与直线OP平行且与椭圆相切的直线方程及其切点即可．
解答：解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆C的焦点在x轴上，b=4，可设椭圆的方程为
+
=1，
又离心率e=
=
，及a2=42+c2，解得
，
∴椭圆的方程为
+
=1．
（Ⅱ）∵kOP=
=1，∴可设与直线OP平行且与椭圆相切的直线方程为y=x+t．
联立
，消去y得到关于x的方程41x2+50tx+25t2-400=0，（*）
∴△=0，即2500t2-4×41×（25t2-400）=0，化为 t2=41，解得t=±
．
∴切线方程为y=x±
．
把t=±
代入（*）解得x=±
，代入y=x+t求得Q(
，-
)，或(-
，
)．
上面这两个点的坐标都满足是得△OPQ的面积最大．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| 42 |
又离心率e=
| c |
| a |
| 3 |
| 5 |
|
∴椭圆的方程为
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 16 |
（Ⅱ）∵kOP=
| 2 |
| 2 |
联立
|
∴△=0，即2500t2-4×41×（25t2-400）=0，化为 t2=41，解得t=±
| 41 |
∴切线方程为y=x±
| 41 |
把t=±
| 41 |
25
| ||
| 41 |
25
| ||
| 41 |
16
| ||
| 41 |
25
| ||
| 41 |
16
| ||
| 41 |
上面这两个点的坐标都满足是得△OPQ的面积最大．
点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题的解法是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
。