Question

已知点F₁、F₂分别是椭圆

x 2

a2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF₂是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（　　）

• A．（0，

  2

  -1）
• B．（

  2

  -1，1）
• C．（0，

  3

  -1）
• D．（

  3

  -l，1）

Answer 1

分析：由题设知F₁（-c，0），F₂（c，0），A（-c，

b2

a

），B（-c，-

b2

a

），由△ABF₂是锐角三角形，知tan∠AF₂F₁＜1，所以

b2 a

2c

＜1，由此能求出椭圆的离心率e的取值范围．

解答：解：∵点F₁、F₂分别是椭圆

x 2

a2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，
过F₁且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，
∴F₁（-c，0），F₂（c，0），A（-c，

b2

a

），B（-c，-

b2

a

），
∵△ABF₂是锐角三角形，
∴∠AF₂F₁＜45°，∴tan∠AF₂F₁＜1，
∴

b2 a

2c

＜1，
整理，得b²＜2ac，
∴a²-c²＜2ac，
两边同时除以a²，并整理，得e²+2e-1＞0，
解得e＞

2

-1，或e＜-

2

-1，（舍），
∴0＜e＜1，
∴椭圆的离心率e的取值范围是（

2

-1，1）．
故选B．

点评：本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．