Question

抛物线y²=2px（p＞0）上纵坐标为-p的点M到焦点的距离为2．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）如图，A，B，C为抛物线上三点，且线段MA，MB，MC与x轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列，若△AMB的面积是△BMC面积的

1

2

，求直线MB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点M的坐标，代入抛物线方程，利用点M到焦点的距离为2，根据抛物线定义，可求p的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为y²=4x，M（1，-2）．分类讨论，确定直线MB的方程，利用x₁，x₂，x₃依次组成公差为1的等差数列，确定y₁，y₂，y₃组成公差为2的等差数列，根据△AMB的面积是△BMC面积的

1

2

，可求直线MB的方程．

解答：解：（Ⅰ）设M（x₀，-p），则（-p）²=2px₀，∴x0=

p

2

，
由抛物线定义，得x0-(-

p

2

)=2
∴p=2，x₀=1．              …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为y²=4x，M（1，-2）．
设A(

y12

4

，y1)，B(

y22

4

，y2)，C(

y32

4

，y3)（y₁，y₂，y₃均大于零）  …（6分）
则MA，MB，MC与x轴交点的横坐标依次为x₁，x₂，x₃．
（1）当MB⊥x轴时，直线MB的方程为x=1，则x₁=0，不合题意，舍去．…（7分）
（2）MB与x轴不垂直时，kMB=

y   2 +2

y22 4 -1

=

4

y2-2

，
设直线MB的方程为y+2=

4

y2-2

(x-1)，即4x-（y₂-2）y-2y₂=0，
令y=0得2x₂=y₂，同理2x₁=y₁，2x₃=y₃，…（10分）
因为x₁，x₂，x₃依次组成公差为1的等差数列，
所以y₁，y₂，y₃组成公差为2的等差数列．　　　　　　　　　    …（12分）
设点A到直线MB的距离为d_A，点C到直线MB的距离为d_C，
因为S_△BMC=2S_△AMB，所以d_C=2d_A，
所以

|y32-(y2-2)y3-2y2|

16+(y2-2)2

=2

|y12-(y2-2)y1-2y2|

16+(y2-2)2

…（14分）
得|y₂+4|=2|y₂|，即y₂+4=2y₂，所以y₂=4，
所以直线MB的方程为：2x-y-4=0…（15分）

点评：本题考查抛物线的定义，考查直线的方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．