Question

函数f（x）=x3+

1

2

ax2+x+1（x∈R）．
（1）若f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，设g（x）=e^2x-ae^x，x∈[0，ln2]，求函数g（x）的最小值；
（3）当a=0时，曲线y=f（x）的切线的斜率的取值范围记为集合A，曲线y=f（x）上不同两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）连线的斜率的取值范围记为集合B，你认为集合A，B之间有怎样的关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）若f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数，则利用f'（x）≥0恒成立．
（2）利用换元法，将函数转化为一元二次函数，利用一元二次函数的单调性求函数的最小值．
（3）利用导数求切线斜率，利用条件求出集合A，B，然后利用集合A，B元素关系判断集合之间的关系．

解答：解：（1）因为f'（x）=3x²+ax+1，若△=a²-12＜0，即-2

3

＜a＜2

3

时，都有f'（x）＞0，此时函数在R上单调递增．
若△=0，即a=±2

3

时，f'（x）≥0，所以此时函数在R上单调递增．
若△＞0，显然不合题意，
综上若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围[-2

3

，2

3

]．
（2）设t=e^x，则t∈[1，2]，h（t）=t²-at=(t-

a

2

)2-

a2

4

，
当-

3

≤

a

2

≤1，即-2

3

≤a≤2时，h（t）在[1，2]上是增函数，所以当t=1时，h（t）的最小值为h（1）=1-a，也是最小值．
当1＜

a

2

≤

3

，即2＜a≤2

3

时，h（t）的最小值为h（2

3

）=12-2

3

a．
（3）集合A，B之间的关系为B是A的真子集．
证明如下：当a=0时，f（x）=x³+x+1，f'（x）=3x²+1≥1，故A=[1，+∞）．
设PQ的斜率为k，则k=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

x

2 1

+x1x2+

x

2 2

+1=(x1+

x2

2

)2+

3

4

x

2 2

+1，
若(x1+

x2

2

)2+

3

4

x

2 2

=0，当且仅当

x2=0 x1+ x2 2 =0

，即x₁=x₂=0，这与已知x₁≠x₂矛盾，
所以(x1+

x2

2

)2+

3

4

x

2 2

＞0，由此可得k＞1，所以B=（1，+∞），
即B是A的真子集．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调，综合性较强，运算量较大．