Question

（2008•宝山区一模）如图，已知正△A₁B₁C₁的边长是1，面积是P₁，取△A₁B₁C₁各边的中点A₂，B₂，C₂，△A₂B₂C₂的面积为P₂，再取△A₂B₂C₂各边的中点A₃，B₃，C₃，△A₃B₃C₃的面积为P₃，依此类推．记S_n=P₁+P₂+…+P_n，则

lim

n→∞

Sn=

3

3

．

Answer 1

分析：先利用边长之间的关系得出边长组成以1为首项，

1

2

为公比的等比数列，进而得出三角形的面积组成以

3

4

为首项，

1

4

为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式进行求和，再求极限．

解答：解：由题意，由于边长组成以1为首项，

1

2

为公比的等比数列，
所以三角形的面积组成以

3

4

为首项，

1

4

为公比的等比数列，
∴S_n=P₁+P₂+…+P_n=

3 4 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

∴

lim

n→∞

Sn=

3

3

故答案为

3

3

点评：本题的考点是数列的极限，主要考查等比数列的和的极限，关键是从实际问题中抽象出等比数列的模型，进而再求数列的极限．