题目内容

已知函数 $数学公式$ 和函数 $数学公式$ ，若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是

A.
$数学公式$
B.
[1，2）
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：根据已知函数f（x）的定义域，求出其值域，对于g（x）利用导数求出其值域，已知存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂），可知g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，g（x）的最小值小于等于f（x）的最大值；
解答：函数 $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ ＜x≤1时，f（x）= $\text{[math]}$ ，f′（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞0，
f（x）为增函数，∴f（ $\text{[math]}$ ）＜f（x）≤f（1），
∴f（x）∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]；
当0≤x≤ $\text{[math]}$ 时，f（x）=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，为减函数，
∴f（ $\text{[math]}$ ）≤f（x）≤f（0），
∴f（x）∈[0， $\text{[math]}$ ]，
综上：f（x）∈[0， $\text{[math]}$ ]；
函数 $\text{[math]}$ ，g′（x）= $\text{[math]}$ ，0≤ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，
∴g′（x）＞0；
g（x）为增函数，g（0）≤g（x）≤g（1），
∴g（x）=[1-a，1- $\text{[math]}$ ]，
∵存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，g（x）的最小值小于等于f（x）的最大值，
∴ $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ ≤a≤2，
故选C；
点评：此题主要考查函数的存在性问题，一般与恒成立问题一个类型，知识点比较全面，是一道中档题，也是一道好题；

练习册系列答案

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（2013•蓟县二模）已知函数f（x）=-

x3+

(2a+1)x2-2ax+1，其中a为实数．
（Ⅰ）当a≠

时，求函数f（x）的极大值点和极小值点；
（Ⅱ）若对任意a∈（2，3）及x∈[1，3]时，恒有ta²-f（x）＞

成立，求实数t的取值范围．
（Ⅲ）已知g（x）=a²x²+ax+1，m（x）=

x3-(a2+

)x2+（2a+5）x-3，h（x）=f（x）+m（x），设函数q（x）=

g(x)，x≥0

h(x)，x＜0.

是否存在a，对任意给定的非零实数x₁，存在惟一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得q′（x₂）=q′（x₁）成立？若存在，求a的值；若不存，请说明理由．

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(III)研究(I)和(II)，能否得出一般性的结论，并进行证明．

已知函数，其中a为实数．

(Ⅰ)当时，求函数f(x)的极大值点和极小值点；

(Ⅱ)若对任意a∈(2，3)及x∈[1，3]时，恒有ta²－f(x)＞成立，求实数t的取值范围．

(Ⅲ)已知g(x)＝a²x²＋ax＋1，m(x)＝x³－(a²＋)x²＋(2a＋5)x－3，h(x)＝f(x)＋m(x)，设函数是否存在a，对任意给定的非零实数x₁，存在惟一的非零实数x₂(x₂≠x₁)，使得(x₂)＝(x₁)成立？若存在，求a的值；若不存，请说明理由．

　　已知：函数（），．
　　（1）若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；
　　（2）关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；
　　（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得不等式和
　　　　都成立，则称直线为函数与的“分界线”。设，
　　　　，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存
　　　　在，请说明理由．

已知函数和函数，若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是

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已知函数 $数学公式$ 和函数 $数学公式$ ，若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是