Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的图象在点（2，f）处切线的倾斜角为45°，且对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2(f′(x)+

m

2

)在区间（t，3）上总不为单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

（1）f/(x)=

a(1-x)

x

(x＞0)，
a＞0时，f（x）在（0，1]上单调递增，在[1，+∞）单调递减；
a＜0时，f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）单调递增；
a=0时，f（x）不是单调函数．
（2）由f′（2）=1得a=-2，所以f（x）=-2lnx+2x-3，则g(x)=x3+(

m

2

+2)x2-2x，
故g′（x）=3x²+（m+4）x-2
因为g（x）在（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2，
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

．
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
综上，

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

?-

37

3

＜m＜-9．
m的取值范围为：-

37

3

＜m＜-9．