题目内容

已知双曲线C的中心在坐标原点O，对称轴为坐标轴，点（-2，0）是它的一个焦点，并且离心率为
2
3
3
．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知点M（0，1），设P（x0，y0）是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，求
MP
•
MQ
的取值范围．
（Ⅰ）设双曲线方程为
x2
a 2
-
y2
b 2
=1（a＞0，b＞0），半焦距c，
依题意得　　
c
a
=
2
3
3
c=2
解得a=
3
，b=1，
∴所求双曲线C的方程为
x2
3
-y2=1．
（Ⅱ）依题意有：Q（-x0，-y0），∴
MP
=(x0，y0-1)，
MQ
=(-x0，-y0-1)
∴
MP
•
MQ
=-x02-y02+1
，又
x 02
3
-y 02=1，
MP
•
MQ
=-
4
3
x20
+2，由
x 02
3
-y 02=1可得，x02≥3，
MP
•
MQ
=-
4
3
x20
+2≤-2故
MP
•
MQ
的取值范围x≤-2．
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线C的中心在坐标原点O，对称轴为坐标轴，点（-2，0）是它的一个焦点，并且离心率为
2
3
3
．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知点M（0，1），设P（x0，y0）是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，求
MP
•
MQ
的取值范围．
已知双曲线C的中心在坐标原点，渐近线方程是3x±2y=0，左焦点的坐标为(-
13
，0)，A、B为双曲线C上的两个动点，满足
OA
•
OB
=0．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）求
1
|
OA
|2
+
1
|
OB
|2
的值；
（Ⅲ）动点P在线段AB上，满足
OP
•
AB
=0，求证：点P在定圆上．
已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，P（1，-2）是C上的点，且y=
2
x是C的一条渐近线，则C的方程为（　　）
（2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，
d
=(1，
2
)是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求
DA
•
DB
的值；
（3）对于双曲线Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（M，N都不同于点E），且EM⊥EN，求证：直线MN与x轴的交点是一个定点．
（理） 在平面直角坐标系中，已知双曲线C的中心在原点，它的一个焦点坐标为(
5
，0)，
e1
=(2，1)、
e2
=(2，-1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线C上的点P，其中
op
=m
e1
+n
e2
（m，n∈R），则m，n满足的一个等式是
4mn=1
4mn=1
．

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