Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a,点E是PD的中点.

（1）证明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；

（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值.

Answer 1

（1）证法一:因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°,

    所以AB=AD=AC=a.在△PAB中，有PA²+AB²=2a²=PB².

    同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.

    因为=++=2++=（+）+（+）=+.

    所以、、共面.又PB平面EAC，所以PB∥平面EAC.

证法二:同证法一得PA⊥平面ABCD.

    连结BD，设BD∩AC=O，则O为BD的中点.

    连结OE，因为E是PD的中点，所以PB∥OE.

    又PB平面EAC,OE平面EAC.故PB∥平面EAC.

（2）解:作EG∥PA交AD于点G，由PA⊥平面ABCD,

    知EG⊥平面ABCD，

    作GH⊥AC于点H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角.

    又E是PD的中点，从而G是AD的中点，

EG=a，AG=a,GH=AGsin60°=a.所以tanθ=.