Question

已知圆和点．
（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；
（2）求以点M为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆M的方程；

（3）设P为（2）中圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为：，为圆O的切线； …………1分

     当切线l的斜率存在时，设直线方程为：，即，

  ∴圆心O到切线的距离为：，解得：

∴直线方程为：．                        

综上，切线的方程为：或                           ……………4分

（2）点到直线的距离为：，

又∵圆被直线截得的弦长为8  ∴          ……………7分

 ∴圆M的方程为：                                 ……………8分

（3）假设存在定点R，使得为定值，设，，

∵点P在圆M上  ∴，则      ……………10分

∵PQ为圆O的切线∴∴，

即

整理得：（*）

若使（*）对任意恒成立，则                 ……………13分

∴，代入得：

整理得：，解得：或   ∴或

∴存在定点R，此时为定值或定点R，此时为定值．

………………16分