Question

已知f（x+1）=x²+2x+3
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）设g（x）=f（x）-kx，若g（x）在（-∞，3]上单调递减，求k的取值范围．．

Answer 1

分析：（1）由f（x+1），可设x+1=t，换元得f（t），即得f（x）的解析式；
（2）因g（x）是二次函数，图象是抛物线；由图象知，区间（-∞，

k

2

]在对称轴左侧时g（x）单调递减，从而得k的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x+1）=x²+2x+3，∴令x+1=t，则x=t-1，
∴f（t）=（t-1）²+2（t-1）+3=t²+2，
∴f（x）=x²+2（其中x∈R）；
（2）∵g（x）=f（x）-kx=x²-kx+2，图象是抛物线，且开口向上，对称轴为x=

k

2

，
∴g（x）在区间（-∞，

k

2

]上单调递减，令

k

2

≥3，
∴k≥6；
∴k的取值范围是[6，+∞）．

点评：本题考查了用换元法求函数解析式和二次函数的图象与性质的应用，是基础题．