Question

已知，若过定点、以（λ∈R）为法向量的直线l₁与过点以为法向量的直线l₂相交于动点P．
（1）求直线l₁和l₂的方程；
（2）求直线l₁和l₂的斜率之积k₁k₂的值，并证明必存在两个定点E，F，使得恒为定值；
（3）在（2）的条件下，若M，N是上的两个动点，且，试问当|MN|取最小值时，向量与是否平行，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据所给直线上的定点坐标以及法向量，即可写出两直线方程．
（2）根据（1）中所求直线l₁和l₂的方程，可分别求出两直线的斜率，再计算k₁k₂，为定值，再用p点坐标表示k₁k₂，与前面所求k₁k₂的值相等，即可得到P点的轨迹方程．为椭圆，根据椭圆定义，可知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为定植，所以必存在两个定点E，F，使得恒为定值．
（3）因为M，N的横坐标相同，设出它们的纵坐标，先把|MN|用M，N的纵坐标表示，根据且，求出M，N纵坐标的关系式，代入|MN|，即可求出|MN|的最小值，以及相应的M，N纵坐标，并据此求出向量的坐标，根据两向量平行的坐标关系，即可判断向量与是否平行．
解答：解：（1）直线l₁的法向量，l₁的方程：，
即为；
直线l₂的法向量，l₂的方程：，
即为． 
（2）．   
设点P的坐标为（x，y），由，得．
由椭圆的定义的知存在两个定点E、F，使得恒为定值4．
此时两个定点E、F为椭圆的两个焦点．
（3）设，，则，，
由，得y₁y₂=-6＜0．
|MN|²=（y₁-y₂）²=y₁²+y₂²-2y₁y₂≥-2y₁y₂-2y₁y₂=-4y₁y₂=24；
当且仅当或时，|MN|取最小值．，故与平行．
点评：本题主要考查了椭圆定义的应用，以及直线与圆锥曲线相交弦长的求法．