Question

长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB=AD=4万米，BC=6万米，CD=2万米．
（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；
（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．

Answer 1

解：（1）因为四边形ABCD内接于圆，
所以∠ABC+∠ADC=180°，连接AC，由余弦定理：
AC²=4²+6²﹣2×4×6×cos∠ABC =4²+2²﹣2×2×4cos∠ADC
所以cos∠ABC=，
∵∠ABC∈（0，π），
故∠ABC=60°．
S_{四边形ABCD}= ×4×6×sin60°+ ×2×4×sin120°
                    =8（万平方米）．
在△ABC中，由余弦定理：
AC²=AB²+BC²﹣2ABBCcos∠ABC=16+36﹣2×4×6×．
AC=2．
由正弦定理==2R，
∴2R===，
∴R=（万米）．
（2）∵S_{四边形APCD}=S_△ADC+S_△APC，
又S_△ADC=ADCDsin120°=2，
设AP=x，CP=y．则S_△APC=xysin60°=xy．
又由余弦定理AC²=x²+y²﹣2xycos60°=x²+y²﹣xy=28．
∴x²+y²﹣xy≥2xy﹣xy=xy．
∴xy≤28，
当且仅当x=y时取等号
∴S_{四边形APCD}=2+xy≤2+×28=9，
∴最大面积为9万平方米．