Question

已知函数，若f（x）＞kx对任意的x∈R恒成立，则k的取值范围是________．

Answer 1

（-2，0]
分析：转化函数f（x）的最值问题解决，分x≤0，x＞0两种情况讨论可得f（x）的最值．
解答：当x≤0时，f（x）＞kx，即x²+1＞kx，x=0时k∈R；
当x＜0时，有x+＜k，而x+-2（x=-1取等号），所以k＞-2；
故x≤0时，f（x）＞kx恒成立，得k＞-2；
当x＞0时，f（x）＞kx，即为ln（x+1）＞kx，而ln（x+1）＞0，
结合图象可知，要使该不等式恒成立，只需k≤0；
综上，要使f（x）＞kx对任意的x∈R恒成立，k的范围为-2＜k≤0．
故答案为：（-2，0]
点评：本题考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力．