Question

已知幂函数f（x）=x^{（2-k）（1+k）}（k∈z）在（0，+∞）上递增．
（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）=1-mf（x）+（4m-1）x，在区间[0，1]上的最大值为5．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用幂函数的定义和单调性即可得出；
（2）利用二次函数的对称轴与0，1的大小关系和其单调性即可解出．

解答：解：（1）∵幂函数f（x）=x^{（2-k）（1+k）}（k∈z）在（0，+∞）上递增，
∴（2-k）（1+k）＞0，解得-1＜k＜2，
又∵k∈Z，∴k=0或1．
当k=0或1时，（2-k）（1+k）=2，
∴幂函数f（x）=x²；
（2）由（1）可知：g（x）=-mx²+（4m-1）x+1，
∵m＞0，∴-m＜0，g（x）=-m(x-

4m-1

2m

)2+

16m2-4m+1

4m

．
①当

4m-1

2m

≤0，m＞0时，解得0＜m≤

1

4

，则g（x）在[0，1]上单调递减，因此在x=0处取得最大值，而g（0）=1≠5不符合要求，应舍去；
②当

4m-1

2m

≥1，m＞0时，解得m≥

1

2

，则g（x）在[0，1]上单调递增，因此在x=1处取得最大值，∴g（1）=5，即3m=5，解得m=

5

3

，满足条件；
③当0＜

4m-1

2m

＜1，m＞0时，解得

1

4

＜m＜

1

2

，则g（x）在x=

4m-1

2m

处取得最小值，最大值在x=0或1处取得，而g（0）=1不符合要求；
由g（1）=5，即3m=5，解得m=

5

3

，不满足m的范围．
综上可知：满足条件的m存在且m=

5

3

．

点评：熟练掌握幂函数和二次函数的单调性及分类讨论的思想方法是解题的关键．