Question

（1）已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）和椭圆

x2

16

+

y2

9

=1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求双曲线的方程．
（2）P为椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上一点，F₁，F₂为左右焦点，若∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出椭圆的焦点和离心率，即可得到双曲线的焦点和离心率，再由a，b，c的关系及离心率公式，即可得到双曲线方程；
（2）利用椭圆定义求出|PF₁|+|PF₂|和|F₁F₂|的值，通过余弦定理求出|PF₁||PF₂|的值，再代入三角形的面积公式即可．

解答： 解：（1）椭圆

x2

16

+

y2

9

=1的焦点为（-

7

，0），（

7

，0），离心率e=

7

4

则双曲线的c=

7

，离心率为

7

2

，则有a=2，b²=c²-a²=7-4=3．
则双曲线的方程为：

x2

4

-

y2

3

=1；
（2）由椭圆

x2

25

+

y2

9

=1可知，a=5，b=3，∴c=4
∵P点在椭圆上，F₁、F₂为椭圆的左右焦点，
∴|PF₁|+|PF₂|=2a=10，|F₁F₂|=2c=8
在△PF₁F₂中，
cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

=

102-2|PF1||PF2|-82

2|PF1||PF2|

=

36-2|PF1||PF2|

2|PF1||PF2|

=cos60°=

1

2

，
∴72-4|PF₁||PF₂|=2|PF₁||PF₂|，∴|PF₁||PF₂|=12，
则在△F₁PF₂中，S△PF1F2=

1

2

|PF₁||PF₂|sin∠F₁PF₂=

1

2

×12sin60°=3

3

．

点评：本题主要考查椭圆、双曲线的方程和性质，考查椭圆中焦点三角形的面积的求法，关键是应用椭圆的定义和余弦定理转化，考查计算能力．