Question

已知函数f(x)=2sin2

π

6

x+sin(

π

3

x+

π

6

)-1．
（I）求f（x）的值域；
（II）试画出函数f（x）在区间[-1，5]上的图象．

Answer 1

分析：（I）将函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域即可得出函数的值域；
（II）由第一问确定的函数解析式，列表、描点、连线，如图所示，即可得出函数f（x）在区间[-1，5]上的图象．

解答：解：（I）f（x）=1-cos（

π

3

x）+

3

2

sin（

π

3

x）+

1

2

cos（

π

3

x）-1
=

3

2

sin（

π

3

x）-

1

2

cos（

π

3

x）=sin（

π

3

x-

π

6

），
∵-1≤sin（

π

3

x-

π

6

）≤1，∴-1≤f（x）≤1，
则f（x）的值域为[-1，1]；
（II）f（x）=sin（

π

3

x-

π

6

），
列表并画出f（x）在[-1，5]的图象如下：

π 3 x- π 6	- π 2	0	π 2	π	3 2 π
x	-1	1 2	2	7 2	5
f（x）	-1	0	1	0	-1

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及函数图象的画法，熟练掌握公式是解本题的关键．