Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值．
（1）求a、b值；
（2）求函数f（x）的单调增、减区间分别是什么？

Answer 1

解：（1）∵f'（x）=3ax²+2bx-3
而f（x）在x=±1处取得极值，
∴
∴
∴
（2）由（1）知f（x）=x³-3x，
f'（x）=3（x+1）（x-1）
列表如下：

x	（-∞，-1）	（-1，1）	（1，+∞）
f'（x）	+	-	+
f（x）	单增	单减	单增

∴f（x）的单增区间分别是（-∞，-1），（1，+∞），单减区间是（-1，1）．
分析：（1）已知函数f（x）=ax³+bx²-3x，对其进行求导，根据f（x）在x=±1处取得极值，得f′（±1）=0，从而求出a，b的值；
（2）利用导数求函数f（x）的单调区间，首先求出极值点，再进行求解；
点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性，要知道极值点与f′（x）的关系，是一道基础题；