Question

（2013•日照一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量

m

=（-cosB，sinC），

n

=（-cosC，-sinB），且

m

•

n

=

1

2

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b+c=4，△ABC的面积S=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）由向量数量积的坐标运算公式，结合

m

•

n

=

1

2

算出cos(B+C)=

1

2

，利用三角形内角和定理和π-α的诱导公式可得cosA=-

1

2

，结合A∈（0，π）即可算出角A的大小；
（II）根据正弦定理的面积公式，结合△ABC的面积为

3

算出bc=4． 再用余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，代入数据即可算出a²=12，从而可得a=2

3

．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=（-cosB，sinC），

n

=（-cosC，-sinB），
∴

m

•

n

=cosB•cosC-sinB•sinC=

1

2

，即cos(B+C)=

1

2

，
∵A+B+C=π，∴B+C=π-A，可得cos（B+C）=cos(π-A)=

1

2

，…（4分）
即cosA=-

1

2

，结合A∈（0，π），可得A=

2π

3

．                        …（6分）
（Ⅱ）∵△ABC的面积S =

1

2

bc•sinA=

1

2

bc•sin

2π

3

=

3

，A=

2π

3

∴

3

4

bc=

3

，可得bc=4．                                      …（8分）
又由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccos

2π

3

=b²+c²+bc，
∴a²=（b+c）²-bc=16-4=12，解之得a=2

3

（舍负）．                                     …（12分）

点评：本题给出平面向量含有的三角函数式的坐标，在已知数量积的情况下求三角形的边和角．考查了利用正余弦定理解三角形、三角形的面积公式和平面向量的数量积公式等知识，属于中档题．