Question

15．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+x-1（x＞2）\\ ax-1（x≤2）\end{array}$是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． -$\frac{1}{4}$≤a＜0
• B． a≤-$\frac{1}{4}$
• C． -1≤a≤-$\frac{1}{4}$
• D． a≤-1

Answer 1

分析 根据条件f（x）在R上单调递减，从而f（x）=ax²+x-1在（2，+∞）上单调递减，根据二次函数的单调性便有$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-\frac{1}{2a}≤2}\end{array}\right.$，这样可解出a$≤-\frac{1}{4}$，根据一次函数的单调性有a＜0．根据减函数的定义可得到，a•2²+2-1≤a•2-1，这又可得到一个a的范围，然后这几个a的范围求交集即可得出实数a的取值范围．

解答 解：①x＞2时，f（x）=ax²+x-1；
f（x）在（2，+∞）上单调递减；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-\frac{1}{2a}≤2}\end{array}\right.$；
∴$a≤-\frac{1}{4}$；
②x≤2时，f（x）=ax-1单调递减；
∴a＜0；
又f（x）在R上单调递减；
∴a•2²+2-1≤a•2-1；
∴a≤-1；
∴综上得实数a的取值范围为（-∞，-1]．
故选：D．

点评 考查二次函数的开口方向和对称轴，二次函数的单调性，一次函数的单调性，以及减函数的定义，分段函数单调性的特点．