Question

△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a²+2b²-c²=0，（1）求tanAcotC的值；（2）当A为何值时，tanB取最大值．

Answer 1

分析：（1）由a²+2b²-c²=0，可得 c²=a²+2b²，故C为钝角，利用同角三角函数的基本关系，以及正弦定理和余弦定理 化简
tanAcotC 为-

1

3

．
（2）由tanAcotC=-

1

3

，可得tanC=-3tanA，根据tanB=-tan（A+C），利用两角和的正切公式可化为

2

1 tanA +3tanA

，由基本不等式求出它的最大值．

解答：解：（1）由a²+2b²-c²=0，可得 c²=a²+2b²，故C为钝角．
利用同角三角函数的基本关系，以及正弦定理和余弦定理可得
 tanAcotC=

sinAcosC

cosAsinC

=

a• a2+b2-c2 2ab

b2 +c2-a2 2bc •c

=

a2 +b2 -c2

b2+c2-a2

=

-b2

3b2

=-

1

3

．
（2）由tanAcotC=-

1

3

，可得tanA=-

1

3

tanC，即 tanC=-3tanA．
又tanB=tan[π-（A+C）]=-tan（A+C）=-

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

-2tanA

1+ 3tan2A

=

2tanA

1+ 3tan2A

=

2

1 tanA +3tanA

．
由tanA＞0 可得

1

tanA

+3tanA≥2

3

，当且仅当tanA=

3

3

时，等号成立．
∴

2

1 tanA +3tanA

的最大值等于

2

2 3

=

3

3

，故tanB 的最大值等于

3

3

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系的应用，以及利用基本不等式求式子的最值，
式子的变形，是解题的难点，属于中档题．