Question

如图：假设三角形数表中的第n行的第二个数为a_n（n≥2，n∈N^*）
（1）归纳出a_n+1与a_n的关系式并求出a_n的通项公式；
（2）设a_nb_n=1求证：b₂+b₃+…+b_n＜2．

Answer 1

分析：（1）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解．
（2）由a_nb_n=1，解得 bn=

2

n2-n+2

＜

2

n2-n

=2(

1

n-1

-

1

n

)再由裂项相消法证明．

解答：解：（1）依题意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2…（2分）
所以：a₃-a₂=2a₄-a₃=3，a_n-a_n-1=n
累加得an-a2=2+3+…+(n-1)=

(n+1)(n-2)

2

…（4分）
所以an=

n2

2

-

n

2

+1（n＞2）
当n=2时a2=

1

2

×22-

1

2

×2+1=2，也满足上述等式 …（5分）
故an=

n2

2

-

n

2

+1…（6分）
（2）因为a_nb_n=1，所以bn=

1

an

=

2

n2-n+2

＜

2

n2-n

=2(

1

n-1

-

1

n

)…（5分）
所以b₂+b₃+…+bn＜2[(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]=2(1-

1

n

)＜2

点评：本题通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法，还考查了数列间的关系，入题较难，知识点，方法活，属中档题．