题目内容
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC=2bcosA-ccosa
（1）求cosA的值；
（2）若a=6，b+c=8，求三角形ABC的面积．
（1）求cosA的值；
（2）若a=6，b+c=8，求三角形ABC的面积．
分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinB不为0求出cosA的值；
（2）由a，cosA的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后将b+c的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．
（2）由a，cosA的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后将b+c的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．
解答：解：（1）由acosC=2bcosA-ccosa及正弦定理可得：sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，
整理得：sin（A+C）=2sinBcosA，即sinB=2sinBcosA，
∵sinB≠0，∴cosA=
；
（2）∵cosA=
，a=6，b+c=8，
由余弦定理得：36=b2+c2-2bc×
=（b+c）2-3bc=64-3bc，
∴bc=
，
由（1）知sinA=
，
则S△ABC=
×
×
=
．
整理得：sin（A+C）=2sinBcosA，即sinB=2sinBcosA，
∵sinB≠0，∴cosA=
| 1 |
| 2 |
（2）∵cosA=
| 1 |
| 2 |
由余弦定理得：36=b2+c2-2bc×
| 1 |
| 2 |
∴bc=
| 28 |
| 3 |
由（1）知sinA=
| ||
| 2 |
则S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 28 |
| 3 |
| ||
| 2 |
7
| ||
| 3 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
练习册系列答案
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在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2-a2=
bc，且b=
a，则下列关系一定不成立的是（ ）
| 3 |
| 3 |
| A、a=c |
| B、b=c |
| C、2a=c |
| D、a2+b2=c2 |