Question

已知函数f（x）=ax²+ax-4（a∈R）．
（1）若函数f（x）恰有一个零点，求a的值；
（2）若对任意a∈[1，2]，f（x）≤0恒成立，求x的取值范围；
（3）设函数g（x）=（a+1）x²+2ax+2a-5，是否存在实数a，使得当x∈（-2，-1）时，函数g（x）的图象始终在f（x）图象的上方，若存在，试求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）=ax²+ax-4仅有一个零点，分函数是一次函数还是二次函数讨论，即a=0和a≠0讨论，特别a≠0时，转化为二次函数图象与x轴只有一个交点，△=0即可求得结果．
（2）由题意得：因为任意a∈[1，2]，f（x）≤0恒成立，令 H（a）=ax²+ax-4=（x²+x）a-4，本题等价于：H（a）≤0在a∈[1，2]上恒成立，再利用一次函数的性质求解即得．
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的实数a，则必有F（x）=x²+ax+2a-1＞0在区间（-2，-1）上恒成立，再利用二次函数的图象与性质，求出实数a，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）当a=0时，f（x）=-4无零点，舍去       …（1分）
当a≠0时，有△=a²+16a=0解得 a=-16或a=0（舍去） …（3分）
综合得：a=-16…（4分）
（2）由题意得：因为任意a∈[1，2]，f（x）≤0恒成立，
令 H（a）=ax²+ax-4=（x²+x）a-4
所以，本题等价于：H（a）≤0在a∈[1，2]上恒成立． …（7分）
又H（0）=-4
所以，H（2）=2（x²+x）-4≤0即  x²+x-2≤0，
解得：-2≤x≤1…（10分）
（3）令 F（x）=g（x）-f（x）=x²+ax+2a-1…（12分）
假设存在这样的实数a，则必有F（x）=x²+ax+2a-1＞0在区间（-2，-1）上恒成立．
又因为F（x）对称轴方程  x=-

a

2

，所以有：
①

- a 2 ≤-2 F(-2)=4-2a+2a-1≥0

…（13分）
解得：

a≥4 a∈R

所以   a≥4
②

- a 2 ≥-1 F(-1)=1-a+2a-1≥0

…（14分）
解得：

a≤2 a≥0

所以   0≤a≤2
③

-2＜- a 2 ＜-1 △=a2-4(2a-1)＜0

解得：

2＜a＜4 4-2 3 ＜a＜4+2 3

所以  2＜a＜4…（15分）
综合以上得：a≥0
所以，存在这样的实数a，当实数a≥0时，函数g（x）的图象始终在f（x）图象的上方．…（16分）
备注：解答题其它解题方法酌情给分．

点评：考查函数零点与函数图象与x轴的交点问题、函数恒成立问题，体现了转化的思想方法，对函数的类型讨论，体现了分类讨论的思想，也是易错点，属中档题．