Question

12．如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，∠PCA=90°，E，H分别为AP，AC的中点，AP=4，BE=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEH；
（Ⅱ）求直线PA与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：BH⊥AC，EH⊥AC，即可证明AC⊥平面BEH；
（Ⅱ）取BH得中点G，连接AG，证明∠EAG为PA与平面ABC所成的角，即可求直线PA与平面ABC所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：因为△ABC是边长为2的正三角形，
所以BH⊥AC．…（2分）
又因为E，H分别为AP，AC的中点，得EH∥PC，
因为∠PCA=90°，
所以EH⊥AC．…（5分）
故AC⊥平面BEH．…（7分）
（Ⅱ）解：取BH得中点G，连接AG．…（9分）
因为EH=BH=BE=$\sqrt{3}$，所以EG⊥BH．
又因为AC⊥平面BEH，所以EG⊥AC，
所以EG⊥平面ABC．
所以∠EAG为PA与平面ABC所成的角．…（12分）
在直角三角形EAG中，AE=2，EG=$\frac{3}{2}$，
所以\sin∠EAG=$\frac{EG}{EA}$=$\frac{3}{4}$．…（15分）
所以PA与平面ABC所成的角的正弦值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确利用线面垂直的判定定理是关键．