题目内容

若O是△ABC内一点，
OA
+
OB
+
OC
=
0
，则O是△ABC的（　　）
A、内心B、外心C、垂心D、重心
分析：利用向量的运算法则：平行四边形法则得到A，O，D共线且O为三角形中线的三等分点，据三角形重心的性质判断出O为重心．
解答：解：以
OB
、
OC
为邻边作平行四边形OBDC，
则
OD
=
OB
+
OC
．
又
OA
+
OB
+
OC
=
0
，
∴
OB
+
OC
=-
OA
．
∴-
OA
=
OD
．
∴O为AD的中点，且A、O、D共线．
又E为OD的中点，
∴O是中线AE的三等分点，且OA=
2
3
AE．
∴O是△ABC的重心．
故选D
点评：本题考查向量的运算法则：平行四边形法则、考查三角形的重心的性质：分三角形的中线为2：1的关系．
练习册系列答案
相关题目
（2011•沈阳二模）对于命题：如果O是线段AB上一点，则|
OB
|•
OA
+|
OA
|•
OB
=
0
；将它类比到平面 的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC•
OA
+S△OCA•
OB
+S△OBA•
OC
=
0
；将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有
VO-BCD•
OA
+VO-ACD
OB
+VO-ABD•
OC
+VO-ABC•
OD
=
0
VO-BCD•
OA
+VO-ACD
OB
+VO-ABD•
OC
+VO-ABC•
OD
=
0
．
设S、V分别表示面积和体积，如△ABC面积用S△ABC表示，三棱锥O-ABCV的体积用VO-ABC表示．对于命题：如果O是线段AB上一点，则|
OB
|•
OA
+|
OA
|•
OB
=
0
．将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC•
OA
+S△OCA•
OB
+S△OBA•
OC
=
0
．将它类比到空间的情形应该是：若O是三棱锥A-BCD内一点，则有
VO-BCD•
OA
+VO-ACD•
OB
+VO-ABD•
OC
+VO-ABC•
OD
=
0
VO-BCD•
OA
+VO-ACD•
OB
+VO-ABD•
OC
+VO-ABC•
OD
=
0
．
若O是线段AB上一点，则有|
OB
|•
OA
+|
OA
|•
OB
=
0
，将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，则有
S△BOC
OA
+S△OAC
OB
+S△OAB•
OC
=
0
S△BOC
OA
+S△OAC
OB
+S△OAB•
OC
=
0
；将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有
VO-BCD
OA
+VO-ACD
OB
+VO-ABD
OC
+VO-ABC
OD
=
0
VO-BCD
OA
+VO-ACD
OB
+VO-ABD
OC
+VO-ABC
OD
=
0
．

设S、V分别表示面积和体积，如△ABC面积用S△ABC表示，三棱锥O－ABC的体积用VO－ABC表示．对于命题：如果O是线段AB上一点，则||·＋||·＝.将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝.将它类比到空间的情形应该是：若O是三棱锥A－BCD内一点，则有___________________________

 

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