Question

已知函数f（x）=

(sin x 2 +cos x 2 )2-1 (sinx≥cosx) cos4 x 2 -sin4 x 2 (sinx＜cosx)

，
（1）画出f（x）在[

π

4

，

9π

4

]上的图象，并写出x∈[

π

4

，

9π

4

]上的单调区间；
（2）若x∈R，判断f（x）是否为周期函数．如果是，求出最小正周期．

Answer 1

分析：（1）先对函数式进行化简整理，再根据正弦函数和余弦函数的单调性可得函数f（x）的单调区间．
（2）从（1）中的单调区间看函数的最小正周期为2π

解答：解：（1）对函数进行化简整理得f（x）=

2sin 2 ( x 2 + π 4 )-1  (sinx≥cosx) cosx，(sinx＜cosx)

，
根据正弦函数和余弦函数的单调性可知，
f（x）的单调递增区间[

π

4

，

π

2

]，[

5π

4

，2π]，
单调递减区间[

π

2

，

5π

4

]，[2π，

9π

4

]；
（2）f（x）是周期函数，其最小正周期为2π．

点评：本题主要考查了正弦函数的单调性和周期性．有时可采用数形结合的形式对三角函数的单调性、周期性等进行研究．